Hipotez Testleri

Durum I

Belli bir örneklem, belirlenen evrene mi aittir?

Örnek I

Sorun: Belirli bir sınıfın sınav sonuçları, tüm okulun sınav sonuçlarının ortalamasını temsil ediyor mu?

Yokluk hipotezi: Bu sınıfın sınav sonuçlarının ortalaması ile tüm okulun sınav sonuçlarının ortalaması arasında bir fark yoktur.

Alternatif hipotez: Bu sınıfın sınav sonuçlarının ortalaması, tüm okulun sınav sonuçlarından daha yüksektir.

Test: Tüm okuldan sınav sonuçları evren olarak alınır ve bu sınıftan rastgele seçilen bir örneklem üzerinde istatistiksel test yapılır.

Örnek II

Sorun: Bir şehirde yaşayan bireylerin günlük su tüketimi, ülke genelindeki bireylerin günlük su tüketimi ortalamasını temsil ediyor mu?

Yokluk hipotezi: Şehirdeki bireylerin günlük su tüketimi ile ülke genelindeki bireylerin günlük su tüketimi arasında bir fark yoktur.

Alternatif hipotez: Şehirdeki bireylerin günlük su tüketimi ülke ortalamasından daha yüksektir.

Test: Ülke genelindeki bireylerden alınan ortalama su tüketimi verileri evren olarak kabul edilir ve şehirde rastgele seçilen bireylerin tüketimi incelenir.

Durum II

Belli iki örneklem aynı evrene mi aittir?

Örnek I

Sorun: Bir spor programına katılan bireylerin kilo kaybı, programa katılmayan bireylerle aynı düzeyde mi?

Yokluk hipotezi: Spor programına katılan ve katılmayan bireylerin ortalama kilo kaybı arasında bir fark yoktur.

Alternatif hipotez: Spor programına katılan bireyler, programa katılmayan bireylerden daha fazla kilo kaybeder.

Test: Rastgele seçilen 50 bireyden 25’i spor programına dahil edilir (deney grubu), diğer 25’i dahil edilmez (kontrol grubu). İki grubun kilo kaybı performansı karşılaştırılır.

Örnek II

Sorun: Bir motivasyon seminerine katılan çalışanların iş tatmin düzeyi, seminere katılmayan çalışanların düzeyiyle aynı mı?

Yokluk hipotezi: Seminere katılan ve katılmayan çalışanların ortalama iş tatmin düzeyi arasında bir fark yoktur.

Alternatif hipotez: Seminere katılan çalışanların iş tatmin düzeyi, katılmayanlardan daha yüksektir.

Test: Şirket çalışanlarından rastgele seçilen 100 kişi iki gruba ayrılır. Bir grup seminere katılır, diğeri katılmaz. Her iki grubun iş tatmini puanları yıl sonunda karşılaştırılır.

HİPOTEZ TESTİ ALTINDA YATAN TEMEL FİKİRLER

  • Durum 1 ve Durum 2’deki araştırmalar için yapılan istatistiksel testlerin altında iki temel fikir yatar.

  • İlk fikirde; yokluk hipotezinin yanlış olduğu kanıtlanana kadar onun doğru olduğu varsayılır.

  • Durum 1 araştırmasında, bu; sınıf ortalaması ile okul ortalaması arasındaki farkın şansa bağlı olduğunun varsayılması demektir.

  • Örneklem büyüklüğü ile varsayılan evren ortalaması arasındaki fark ne kadar büyükse, şansa bağlı farkın olasılığı o kadar küçük olur. Eğer fark çok büyük olursa, bu farkın şans eseri olmadığı (yokluk hipotezinin reddedilmesi) ve örneklemin genel evrenden farklı bir evrenden alınmış olabileceği sonucunu çıkarmamız gerekir.

  • Durum 2 araştırmasında ise yanlışlığı kanıtlanana kadar yokluk hipotezini doğru sayan varsayım, deney grubu ile kontrol grubunun evren ortalaması arasında herhangi bir fark olmadığını varsaymamızı söyler.

  • Deney grubu ile kontrol grubunun örneklem ortalamaları arasında bir fark gözlenirse var olan farkın şansa bağlı olarak artmış olması gerekir.

  • Örneklem ortalamaları arasındaki fark ne kadar büyükse; bu fark şansın dışında başka faktörleri de içerir. Eğer örneklem farkı çok büyük olursa; farkın şans eseri olmadığı; deney grubu ile kontrol grubu örneklemlerinin farklı ortalamalara sahip evrenlerden alınmış olabileceği sonucunu çıkarmamız gerekir.

  • Durum 1 araştırmasında belirtildiği gibi, araştırma yokluk hipotezi altında belirlenen evrenden alınmış bilinmeyen sayıdaki örneklemden sadece birini kullanır.

  • Ayrıca, eğer bu evrenden çok sayıda örneklem alınırsa; herhangi bir örneklemin ortalaması, diğer örneklemlerin ortalamalarının değerleri ile aynı olmayabilir.

  • Hatta örneklem ortalamaları, hem diğer örneklem ortalamalarından hem de evren ortalamalarından farklılık gösterebilir.

  • Bir araştırmada elde edilen belirli bir örneklemin ortalamasının, gerçekte yokluk hipotezinde belirtilen evrenden alınıp alınmadığını belirlemek için bir örneklemden diğerine ortalamalarda beklenen “sıçrama”nın ne kadar olduğunu ve böyle bir durumda, evrenden örnekleme yoluyla elde edilen ortalamaların dağılımını bilmemiz gerekir.

  • ortalamaların örneklem dağılımı belirlenmiş bir örneklem büyüklüğü için her bir olası örneklem ortalaması değerinin bağıl frekansını gösterir.

  • O halde ortalamaların örneklem dağılımı, yokluk hipotezi altında varsayılan evren ortalamasından alınan örneklem ortalamasının normalden nasıl saptığını belirlemek için bir ölçü görevi görür.

  • Buna paralel bir iddia Durum 2 araştırması için ortaya atılabilir. Burada, tek bir örneklem ortalamasından bahsetmek yerine tek bir örneklem için ortalamalar arası farklar dikkate alınır (öyle ki; XDeneysel - XKontrol ).

Ortalamaların Örneklem Dağılımı

  • Kingfisher

  • Bir örnek daha

  • ilk fikir yokluk hipotezinin yanlışlığı kanıtlanana dek doğru varsayıldığıdır. Bu varsayım, varsayımda bulunmamız ve örnekleme yapmamız hususunda, belli bir örneklemin hangi evrenden alındığını belirlememize yardımcı olur.

  • İkinci fikir, araştırma sonsuz ve çok sayıda alınabilecek örneklemlerden sadece birini kullandığıdır.

  • Üçüncü fikir; alınan herhangi bir örneklem, evrende neyin doğru olduğu hakkında kesin bi fotoğraf vermediğidir. Örneklem evrenin küçük bir oranı olduğu için hatalar içerebilir. Bu hata, örneklemdeki beraberlik şansı yanlış ölçümler nedeniyle, belli özelliklere sahip deneklerin aşırı derecede çok sayısda olması nedeniyle ya da bu ikisinin bir kaç kombinasyonu nedeniyle ortaya çıkmış olabilir.

  • Dördüncü fikir ise bir evrenden belirli büyüklükte tekrarlayan örneklemler almaya çalıştığımızda; ne düzeyde örnekleme hatası beklediğimize ilişkin bir yol bulmaya karar vermemiz gerektiğidir.

  • Ortalamaların örneklem dağılımının yayılması, bir örneklemden diğerine örneklem ortalamalarında beklediğimiz hata sıçramasının ne kadar olduğunu söyler.

EVREN ORTALAMASI İLE İLGİLİ İSTATİSTİKSEL ÇIKARIM

  • Örneklem ortalamasından, evrenin ortalaması hakkında çıkarım yaparken; yokluk hipotezi altındaki evrenden tesadüfi alınan örneklem ortalamalarında ne kadar değişkenlik olduğunu göstermek için bir modele gereksinim duyarız.

  • Tesadüfi örneklem ortalamaları modelinden, bizim örneklem ortalamamızın beklenen aralıkta olup olmadığına karar verebiliriz. Eğer beklenen aralıktaysa yokluk hipotezi reddedilemez. Yokluk hipotezi altındaki örnekleme beklenmedik bir (aralıkta) şekilde ortaya çıkacak olursa; yokluk hipotezini reddedebilir ve alternatif hipotezimizin doğru olduğu sonucunu çıkarabiliriz.

Ortalamaların Örneklem Dağılımı

  • Ortalamaların örneklem dağılımı, yokluk hipotezi tarafından belirlemiş bir evrenden alınmış örneklem ortalamalarının değişkenliğini tanımlayan bir modeldir. Bu da aşağıdaki şekilde çalışır. Teorik olarak, belirsiz ve çok sayıda örneklem yoluk hipotezi yardımıyla belirli bir evrenden alınmış olabilir.

  • Matematiksel istatistikten biliyoruz ki; N tane tekrarlı tesadüfi örneklem, normal dağılıma sahip evrenden alınırsa örneklem ortalamalarının dağılımı aşağıdaki özelliklere sahip olacaktır.

  1. Normal dağılıma sahip olacaklardır.

  2. Evren ortalamasına eşit ortalamaya sahip olacaktır.

  3. Evren standart sapmasının örneklem büyüklüğünün karesine bölünmesiyle elde edilecek olan -ortalamanın standart hatası şeklinde adlandırılacaktır- standart sapmaya eşit olacaktır.

  • Ayrıca, N büyükse; evren normal dağılım göstermiyor olsa bile merkezi limit teoreminin belirttiği gibi ortalamaların örneklem dağılımı normalliğe yaklaşacaktır.

  • Örneklem Dağılımının Şekli. Örneklemdeki deneklerin 30 veya fazla olduğu durumlarda evren dağılımları farklı şekillerde dağılıma sahip olsa da ortalamaların örneklem dağılımı, normale yakın bir dağılım göstereceklerdir. Merkezi limit teoremine göre örneklem büyüklüğü arttığında, ortalamaların örneklem dağılımının şekli de giderek normal dağılıma benzemeye başlayacaktır. Örneklem büyüklüğü 30 olduğu durumda normal dağılım, ortalamaların örneklem dağılımına benzer sonuçlar ortaya koyar. Bu yüzden örneklem dağılımın şeklini çıkarmak için bir kural olarak N=30 kullanılır.

  • Örneklem Dağılımının Ortalaması: Ortalamaların örneklem dağılımının ortalaması evren ortalamasıdır. Çünkü örneklem ortalaması evren ortalamasının yansız bir kestiricisidir. Bir başka deyişle, herhangi bir evrenden alınan tesadüfi örneklem için örneklem ortalamaların uzun vadedeki ortalaması evren ortalamasına eşit olacak demektir.

  • Ortalamanın Standart Hatası: Ortalamaların örneklem dağılımındaki örneklem ortalamaların standart sapmasına ortalamanın standart hatası denir. Bu tanım, örneklem ortalamalarının evren ortalaması üzerinde ne kadar değiştiğinin bir indeksi/göstergesidir (örneklem dağılımın ortalaması). Böylece, örneklem ortalamasından evren ortalaması hakkında çıkarımda bulunurken ne kadar hata yapıldığı ile ilgili bilgi sağlar. Örneklem ortalamaları arasındaki değişkenlik ne kadar büyükse hata da tek bir örneklem ortalamasından evren ortalaması hakkında çıkarım yapıldığı zamandaki kadar büyük olacaktır.

İstatistiksel Çıkarım Örnekleri

Durum 1: Bir Örneklem Belirli Bir Evrene mi Aittir?

Örnek: Bir sağlık araştırmacısı, ülke genelinde yetişkinlerin ortalama uyku süresinin 7 saat olduğunu bildiğini varsayarak, belirli bir şehirden rastgele seçilen bir grup yetişkinin ortalama uyku süresinin 7 saate eşit olup olmadığını test etmek isteyebilir.

Araştırmacı, şehirde rastgele seçilmiş bireylerden oluşan bir örneklem kullanarak bir hipotez testi yapar.

Yokluk Hipotezi (H₀): Şehirdeki yetişkinlerin ortalama uyku süresi, ülke genelindeki ortalama uyku süresine eşittir (\(\mu = 7\) saat).

Alternatif Hipotez (H₁): Şehirdeki yetişkinlerin ortalama uyku süresi, ülke genelinden farklıdır (\(\mu \neq 7\) saat).

Durum 2: İki Farklı Örneklem Aynı Evrene mi Aittir?

Örnek: Bir eğitim araştırmasında, online eğitim alan öğrencilerin sınav performansları ile yüz yüze eğitim alan öğrencilerin sınav performansları karşılaştırılmak istenebilir.

Araştırmacı, iki gruptan veriler toplayarak performans farkını analiz eder:

Deney Grubu: Online eğitim alan öğrenciler.

Kontrol Grubu: Yüz yüze eğitim alan öğrenciler.

Hipotezler:

\(H₀: \mu_{\text{online}} = \mu_{\text{yüz yüze}}\) (İki grup ortalaması eşittir).

\(H₁: \mu_{\text{online}} \neq \mu_{\text{yüz yüze}}\) (İki grup ortalaması farklıdır).

İSTATİSTİKSEL ÇIKARIMDA HATA

  1. Yokluk hipotezi doğru olduğu halde reddedilmesi yönünde bir karar verilmiş olabilir. Bu durumda, iki örneklem eş evrenleri temsil etmesine rağmen, grupların farklı evrenleri temsil ettiği yönünde bir karar alınması söz konusudur.
  2. İkinci hata ise, yokluk hipotezi yanlış olduğu halde kabul edilmesi sonucu ortaya çıkar. Bu durumda, iki grup farklı evrenlerden gelmesine karşın grupların eş evrenlerden geldiği şeklinde yanlış bir karar alınmış olur.
Karar Evrendeki Gerçek Durum
Eş Evrenler Farklı Evrenler
Eş Evrenler (H0 hipotezinin kabulü) Doğru Karar Hata
Farklı Evrenler (H0 hipotezinin reddi) Hata Doğru Karar

Kaynak

İlhan, M. (2016). Sezgi Yoluyla İstatistiksel Çıkarım. N. Güler (Ed.), Sosyal Bilimler için İstatistik içinde (223-243). Ankara: Pegem Akademi